Линейная алгебра 1 сем.
Меню курса
О курсе "Матрицы и СЛАУ"
Курс будет пополняться новыми материалами, и его цена постепенно будет повышаться. Но если он у вас уже куплен, то за дополнения доплачивать будет не нужно. Обо всех обновлениях будет рассылка в ВК, подпишитесь: https://vk.cc/bWpZf4
Курс почти целиком покрывает 1 семестр Алгебры. В нём нет уроков по общей алгебре (группы, кольца, поля - хотя определение поля есть), отображений, гомоморфизмов и изоморфизмов. Это будет в других частях.
Содержание курса сейчас:
1.1) понятие матрицы, прямоугольные и квадратные матрицы
нумерация элементов матрицы
главная и побочная диагональ матрицы
матрица-столбец, матрица-строка
нулевая матрица, единичная матрица
равные матрицы
сложение матриц, умножение матрицы на число
транспонированная матрица
1.2) умножение матриц
матричные единицы
произведение матриц не коммутативно
коммутирующие матрицы (перестановочные)
умножение квадратной матрицы на единичную матрицу
натуральная степень матрицы
противоположная матрица
коммутатор матриц
делители нуля
1.3) свойства операций над матрицами
ассоциативность сложения, коммутативность сложения, дистрибутивность
ассоциативность умножения матриц, дистрибутивность
транспонирование произведения
1.4) доказательство свойств линейных операций над матрицами
коммутативность, ассоциативность сложения
нейтральный элемент по сложению
противоположный элемент
вычитание матриц
дистрибутивность умножения матрицы на число относительно сложения матриц и сложения чисел
1.5) доказательство свойств умножения матриц
ассоциативность умножения матриц
умножение произведения матриц на число
дистрибутивность слева и справа
1.6) доказательство свойств транспонирования матриц
транспонирование суммы матриц
транспонирование произведения матрицы на число
транспонирование произведения матриц
транспонирование транспонированной матрицы
1.7) линейная комбинация матриц
натуральная степень матрицы
нейтральный элемент по умножению
обратная матрица
многочлен от матрицы
1.8) пример умножения матриц
1.9) треугольная матрица
ступенчатая матрица
трапециевидная матрица
диагональная матрица
след матрицы
1.10) симметрическая матрица
кососимметрическая матрица
нормальная матрица
ортогональная матрица
периодическая матрица
нильпотентная матрица
2.1) определитель матрицы (детерминант) 2×2 и 3×3
варианты обозначения определителя матрицы
определитель матрицы 1×1
правило треугольника нахождения определителя матрицы 3×3
правило Саррюса
разложение определителя матрицы 3×3 по строке или столбцу
2.2) пример вычисления определителя
3.1) отображения
биективное отображение (взаимно-однозначное)
подстановка, каноническая запись подстановки
тождественная подстановка
перестановка
количество перестановок и подстановок
3.2) транспозиция перестановки и транспозиция подстановки
инверсия перестановки
чётность перестановки
подсчет количества инверсий
чётность подстановки
упорядочивание списка n! перестановок
транспозиция меняет чётность перестановки
транспозиция не меняет чётность подстановки
чётность подстановки не зависит от записи
обратная подстановка
чётности обратных подстановок одинаковые
3.3) определители матриц N×N
символ Леви-Чивиты
два варианта записи разложения определителя
4.1) верхняя и нижняя треугольная матрица
определитель треугольной матрицы
определитель единичной матрицы
4.2) строка длины n
сложение строк
умножение строки на число
линейная комбинация строк
короткая запись суммирования
4.3) перестановка двух строк матрицы меняет знак определителя
4.4) если две строки матрицы равны, то её определитель равен 0
4.5) определитель матрицы со строкой, умноженной на число
определитель матрицы, умноженной на число
определитель матрицы со строкой нулей
4.6) определитель матрицы со строкой равной сумме двух строк
4.7) определитель матрицы после прибавления одной строки к другой
определитель матрицы со строкой равной линейной комбинации других строк
4.8) определитель транспонированной матрицы
свойства определителя для столбцов
5.1) дополняющий минор элемента матрицы
алгебраическое дополнение элемента матрицы
5.2-4) разложение определителя по строке/столбцу
5.5) теорема о фальшивом разложении
6.1) минор
дополнительный минор
алгебраическое дополнение
6.2-4) теорема Лапласа
6.5) блочная матрица
квазитреугольная матрица
определитель квазитреугольной матрицы
теорема об определителе с углом нулей
6.6) определитель произведения квадратных матриц
7.1) система линейных уравнений (СЛУ)
запись линейного уравнения через знак суммирования
матрица коэфициентов СЛУ
расширенная матрица СЛУ
квадратная СЛУ
однородная СЛУ
7.2) решение СЛУ
совокупность всех решений СЛУ
несовместная СЛУ
совместная неопределенная СЛУ
совместная определенная СЛУ
эквивалентные СЛУ
7.3) (равносильные/эквивалентные) элементарные преобразования СЛУ
прибавление к одному уравнению другого с коэффициентом
перемена местами двух уравнений
умножение уравнения на число
от преобразованной СЛУ можно вернуться к исходной с помощью конечного числа элементарных преобразований
после элементарных преобразований СЛУ получается эквивалентная СЛУ
7.4) элементарные преобразования строк матрицы
прибавление к одной строке другой строки с коэффициентом
замена местами двух строк
умножение строки матрицы на число
главный/ведущий элемент (лидер) строки
ступенчатая матрица
главный ступенчатый вид матрицы
7.5) приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями
количество ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы - ранг матрицы
7.6) метод Гаусса решения СЛУ
7.7) нерешаемое уравнение
главные переменные СЛУ
свободные переменные СЛУ
если нет нерешаемых уравнений и все переменные главные, то СЛУ совместна
если нет нерешаемых уравнений и есть свободные переменные, то для каждого набора значений свободных переменных существует единственный набор значений главных переменных
общее решение СЛУ
7.8) критерий совместности СЛУ (титтк нет нерешаемых уравнений)
критерий определенности СЛУ (титтк нет нерешаемых и все главные)
7.9) обратный ход метода Гаусса
7.10) метод Гаусса вычисления определителя
8.1) i-й единичный столбец
умножение матрицы на i-й единичный столбец
умножение матрицы на единичную матрицу справа и слева
умножение матрицы на столбец - линейная комбинация столбцов
умножение строки на матрицу - линейная комбинация строк
произведение матриц как линейная комбинация столбцов первого множителя или строк второго
8.2) матрицы элементарных преобразований
8.3) обратная матрица
вырожденная матрица
невырожденная матрица
присоединенная матрица (взаимная/союзная)
критерий обратимости
нахождение обратной матрицы через определители
формула элемента обратной матрицы
8.4) единственность обратной матрицы
достаточность нахождения односторонней обратной матрицы
свойства обратной матрицы
8.5) приведение невырожденной матрицы к единичной элементарными преобразованиями
8.6) метод Гаусса-Жордана обращения матрицы
8.7) получение матрицы A^1•B и B•A^-1 методом Гаусса-Жордана
8.8) пример нахождения обратной для матрицы 2×2
9.1) матричная форма записи СЛУ
матрица коэффициентов (основная матрица) СЛУ
столбец неизвестных
столбец свободных членов (правых частей)
9.2) эквивалентность СЛАУ при умножении на невырожденную матрицу
определенность СЛАУ с невырожденной матрицей коэффициентов
матричный метод решения СЛАУ
9.3) вырожденная система линейных уравнений
несовместность или неопределенность СЛАУ с вырожденной матрицей
10.1) метод Крамера
формулы для нахождения неизвестных в СЛАУ
11.1) линейное пространство (векторное пространство)
поле
внутренний и внешний закон композиции
аксиомы линейного пространства
коммутативность сложения
ассоциативность сложения
нулевой вектор (нейтральный элемент по сложению)
противоположный элемент по сложению
дистрибутивность умножения относительно сложения чисел
дистрибутивность умножения относительно сложения векторов
вещественное линейное пространство
11.2) примеры линейных пространств
геометрические пространства (пространство геометрических векторов на прямой, на плоскости, в пространстве)
пространство арифметических векторов (арифметическое пространство/координатное пространство)
множество прямоугольных матриц
пространство многочленов степени не выше n
пространство многочленов всех степеней
множество многочленов степени n - не линейное пространство
11.3) свойства линейных пространств
существование и единственность разности векторов
12.1) линейная зависимость
линейная комбинация векторов
разложение вектора по системе векторов
тривиальная линейная комбинация
нетривиальная линейная комбинация
линейно зависимая система
линейно независимая система
линейная зависимость системы из одного вектора
12.2) критерий линейной зависимости системы векторов
свойства линейной зависимости систем и подсистем векторов
единственность разложения вектора по системе векторов
12.3) геометрический смысл линейной зависимости
два геометрических вектора линейно зависимы титтк они коллинеарны
три геометрических вектора линейно зависимы титтк они компланарны
четыре геометрических вектора линейно зависимы всегда
12.4) примеры линейно зависимых и линейно независимых систем
система с нулевым вектором лз
система с двумя равными векторами лз
12.5) линейная зависимость строк матрицы
определитель матрицы равен 0 тогда и только тогда когда её строки (столбцы) линейно зависимы
12.6) любая система из k строк в пространстве строк длины n при k>n линейно зависима
12.7) эквивалентные системы векторов
линейное выражение одной системы векторов через другую
транзитивность линейного выражения систем векторов
системы векторов, выражающиеся друг через друга называются эквивалентными
12.8) основная теорема о линейной зависимости
если большая система выражена через меньшую, то большая линейно зависима
13.1) базис линейного пространства
максимальная линейно независимая система векторов
одинаковое число векторов во всех базисах
13.2) размерность линейного пространства
n-мерное пространство
конечномерное и бесконечномерное пространство
линейная зависимость любой системы, в которой векторов больше, чем размерность пространства
любые n линейно независимых векторов n-мерного пространства образуют базис
13.3) примеры базисов
13.4) теорема о неполном базисе
любую линейно независимую систему можно дополнить до базиса
13.5) координаты вектора
единственность разложения по базису
равенство векторов равносильно равенству их координат в одном базисе
при сложении векторов их координаты складываются, а при уменожении на число - умножаются на это число
матрица-строка векторов базиса
координатный стоблец вектора в выбранном базисе
13.6) матрица перехода к новому базису
13.7) свойства матрицы перехода
матрица перехода к другому базису невырождена
обратная матрица перехода между базисами
любая невырожденная матрица является матрицей перехода между какими-то базисами
13.8) замена координат вектора при перехоже к новому базису
13.9) базис в пространстве строк длины n
стандартный базис в R^n
как узнать, является ли система векторов базисом в R^n
13.10-12) примеры нахождения координат вектора в разных базисах и переход к новому базису
14.1) ранг матрицы
14.2) базисный минор
базисные строки и столбци матрицы
теорема о базисном миноре
14.3) второе определение ранга матрицы
максимальное число линейно независимых столбцов матрицы
ранг матрицы равен рангу её транспонированной матрицы
14.4) ранг произведения матриц не превосходит рангов сомножителей
если все строки (столбцы) одной матрицы линейно выражаются через строки (столбцы) другой, то ранг второй больше или равен рангу первой
14.5) элементарные преобразования строк и столбцов матрицы не меняют её ранг
умножение на невырожденную матрицу не меняет ранг матрицы
14.6) вычисление ранга матрицы методом Гаусса
ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк
ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в её ступенчатом виде
14.7) метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы
окаймляющий минор
если в матрице есть ненулевой минор порядка r, а все его окаймляющие миноры нулевые, то ранг матрицы равен r
14.8) единственность главного ступенчатого вида матрицы
14.9) элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейных соотношений столбцов
подсистема системы столбоы матрицы лз/лнз/макс лнз титтк подсистема с теми же номерами системы столбов матрицы после элементарных преобразований строк лз/лнз/макс лнз
14.10) алгоритм поиска максимальной линейно независимой подсистемы в системе векторов и выражение через неё остальных векторов системы
15.1) база системы векторов
база титтк это максимальная линейно независимая подсистема
все базы из одинакового числа векторов
база системы эквивалентна самой системе
любые две базы одной системы эквивалентны
ранг системы векторов
если первая система векторов линейно выражается через вторую, то ранг первой меньше или равен рангу второй
ранги эквивалентных систем векторов равны
эквивалентные системы векторов состоят из одинакового числа векторов
15.2) линейное подпространство
критерий линейного подпространства
15.3) линейная оболочка
конечномерное пространство является линейной оболочкой своего базиса
линейная оболочка системы векторов пространства является его подпространством
системы векторов эквивалентны титтк их линейные оболочки равны
линейная оболочка системы векторов равна линейной оболочке базы этой системы
база системы векторов является базисом линейной оболочки этой системы
размерность линейной оболочки системы векторов равна рангу этой системы
15.4) размерность пространства больше или равна размерность его подпространства
если одно подпространство включено в другое, то размерность первого не превосходит размерности второго
15.5) сумма подпространств
разложение вектора по подпространствам
пересечение подпространств
сумма и пересечение подпространств непусты
сумма и пересечение подпространств сами являются линейными подпространствами
каждое слагаемое подпространство является подпространством суммы
пересечение подпространств является подпространством каждого пересекаемого подпространства
15.6) сумма подпространств является линейной оболочкой объединения базисов слагаемых подпространств
базис суммы подпространств это база объединения базисов слагаемых подпространств
размерность суммы подпространств равна рангу системы векторов, состоящей из базисов всех слагаемых подпространств
15.7) формула размерности суммы подпространств
размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения