#3959: открытый банк ФИПИ, 17

Условие

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём AC₁:C₁B=8:3, BA₁:A₁C=1:2, AB₁:B₁C=1:3. Отрезки BB₁ и CC₁ пересекаются в точке D.
а) Докажите, что ADA₁B₁ — параллелограмм.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=16, BC=15.

а) Доказательство
1. Применим метод масс (или теорему Менелая). Пусть в вершине \(A\) сосредоточена масса 3, тогда из отношения \(AC_1:C_1B = 8:3\) следует, что в вершине \(B\) должна быть масса 8 (так как \(3 \cdot 8 = 8 \cdot 3\)). Из отношения \(AB_1:B_1C = 1:3\) следует, что в вершине \(C\) должна быть масса 1 (так как \(3 \cdot 1 = 1 \cdot 3\)).
Точка \(D\) как пересечение отрезков \(BB_1\) и \(CC_1\) является центром масс системы точек \(A(3)\), \(B(8)\), \(C(1)\).
Пусть прямая \(AD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(A'\). Тогда \(A'\) — центр масс точек \(B(8)\) и \(C(1)\), откуда \(BA':A'C = 1:8\), а отношение \(AD:DA' = (8+1):3 = 3:1\), то есть \(A'D:DA = 1:3\).

2. Пусть длина стороны \(BC = L\). Тогда из условий задачи:
\(BA_1 = \frac{1}{3}L = \frac{3}{9}L\),
\(BA' = \frac{1}{9}L\),
откуда \(A'A_1 = BA_1 - BA' = \frac{3}{9}L - \frac{1}{9}L = \frac{2}{9}L\).
Длина отрезка \(A_1C = \frac{2}{3}L = \frac{6}{9}L\).
Найдём отношение \(A'A_1:A_1C = \frac{2}{9}L : \frac{6}{9}L = 2:6 = 1:3\).

3. В треугольнике \(A'AC\) точки \(D\) и \(A_1\) делят стороны \(A'A\) и \(A'C\) в одинаковом отношении:
\(A'D:DA = 1:3\) и \(A'A_1:A_1C = 1:3\).
По теореме, обратной к теореме Фалеса, получаем, что \(DA_1 \parallel AC\). Поскольку точка \(B_1\) лежит на \(AC\), то \(DA_1 \parallel AB_1\).

4. Также рассмотрим отрезки \(CA_1\) и \(CA'\):
\(CA_1 = \frac{6}{9}L\), \(CA' = \frac{8}{9}L\), то есть \(CA_1:CA' = 6:8 = 3:4\).
Из условия \(AB_1:B_1C = 1:3\) следует, что \(CB_1:CA = 3:4\).
Так как \(CA_1:CA' = 3:4\) и \(CB_1:CA = 3:4\), по теореме, обратной к теореме Фалеса для угла \(C\), получаем, что \(B_1A_1 \parallel AA'\). Поскольку точка \(D\) лежит на \(AA'\), то \(B_1A_1 \parallel AD\).

5. В четырёхугольнике \(ADA_1B_1\) противоположные стороны попарно параллельны (\(DA_1 \parallel AB_1\) и \(B_1A_1 \parallel AD\)), следовательно, \(ADA_1B_1\) — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

б) Решение
1. Так как \(ADA_1B_1\) — параллелограмм, его стороны \(AD\) и \(B_1A_1\) параллельны. По условию \(AD \perp BC\), следовательно, \(B_1A_1 \perp BC\). Это значит, что треугольник \(B_1A_1C\) является прямоугольным (\(\angle B_1A_1C = 90^\circ\)).

2. Найдём длины сторон \(CB_1\) и \(CA_1\):
\(CB_1 = \frac{3}{4}AC = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12\),
\(CA_1 = \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10\).

3. Из прямоугольного треугольника \(B_1A_1C\) найдём косинус и синус угла \(C\):
\(\cos C = \frac{CA_1}{CB_1} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\),
\(\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}\).

4. По теореме косинусов для треугольника \(ABC\) найдём сторону \(AB\):
\(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\)
\(AB^2 = 16^2 + 15^2 - 2 \cdot 16 \cdot 15 \cdot \frac{5}{6} = 256 + 225 - 400 = 81 \implies AB = 9\).

5. По теореме синусов радиус \(R\) описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен:
\(2R = \frac{AB}{\sin C} \implies R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{9}{2 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}} = \frac{27}{\sqrt{11}} = \frac{27\sqrt{11}}{11}\).

Ответ: \(\frac{27\sqrt{11}}{11}\)