Сайт подготовки к экзаменам Uchus.online

Монотонность в 15 задаче

Условие

Решите неравенство \(\log_2(x+1)+\log_3x\leqslant 3\)

Когда видим неравенство подобного вида, становится понятно, что решить его каким-то традиционным путем не получится, так как если привести логарифмы к одинаковому основанию, то ничего внятного не выйдет. Значит, нужно воспользоваться каким-то другим методом, обычно это метод рационализации, метод оценки (в том числе попробовать оценить какую-нибудь часть неравенства неравенством Коши), свойство суммы или разности модулей, а также свойства монотонности функций.

Здесь явно подойдет последнее. Основание первого логарифма больше единицы - возрастающая функция, его аргумент представляет собой линейную функцию с коэфициентом k=1 - возрастающая функция. Для определения монотонности композиции двух функций можно провести аналогию с произведением - если множители одного знака, то результат положительный, иначе отрицательный. То есть композиция двух возрастающих или двух убывающих функций есть возрастающая функция, иначе убывающая. Значит, функция первого логарифма возрастает. Аналогичные действия повторяем со вторым логарифмом - он тоже возрастает. Сумма возрастающих функций есть возрастающа функция.

Итого, левая часть неравенства представляет собой возрастающую функцию, а правая часть - константу. Если рассмотреть уравнение из этих частей, то такое уравнение будет иметь не более 1 решения. Почему? Потому что если функция строго монотонна, то с горизонтальной прямой (константой) она будет перескать либо однажды, либо никогда (например, если возрастающая функция начинается над константой, или прерывается из-за какого-нибудь одз и т.д.)

Такой корень можно найти подбором - 3. Так как мы имеем дело с неравенством, в котором стоит знак <=, то нам нужна область, в которой возрастающая функция не выше константы трех. Это область (0;3] 

Загрузка...