Оптимизация - конференция учителей

У фермера есть два поля, площадью 12 и 5 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле (12 га) составляет 300 ц/га, а на втором (5 га) — 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 100 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 2000 рублей за центнер, а свёклу — по цене 3000 рублей за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

В библиотеке 100 книг: 55 научных и 45 художественных. Их расставляют на две полки: на одной 40 мест, на другой 60. Затем считают процент научных книг на каждой полке и результаты складывают. Какая максимальная сумма процентов может получиться?

Кондитерская фабрика производит шоколадную пасту и ореховую пасту. Производственные мощности завода позволяют за 1 месяц произвести либо 120 тонн шоколадной пасты, либо 80 тонн ореховой пасты. При переключении мощностей между видами продукции выпуск каждого из них пропорционален времени, затраченному на его производство. В таблице приведены экономические показатели для каждого вида пасты:

Для выполнения условий ассортимента за месяц должно быть выпущено не менее 30 тонн шоколадной пасты и не менее 20 тонн ореховой пасты. Предполагая, что вся произведенная продукция полностью реализуется, найдите максимально возможную прибыль (в рублях), которую может получить завод за 1 месяц.

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратных метра и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отель 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство \(x\) тыс. ед. продукции на таком заводе равны \(0{,}5x^2+2x+6\) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене \(p\) тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит \(px-(0{,}5x^2+2x+6)\). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении \(p\) строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Зависимость количества \(Q\) (в шт., \(0\leqslant Q\leqslant 40000\)) купленного у фирмы товара от цены \(P\) (в руб. за шт.) выражается формулой \(Q=40000-P\). Затраты на производство \(Q\) единиц товара составляют \(8000Q+2000000\) рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог \(t\) рублей \((0 < t < 20000)\) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет \(PQ-8000Q-2000000-tQ\) рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна \(tQ\) рублей. Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении \(t\) общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Зависимость объёма \(Q\) (в шт.) купленного у фирмы товара от цены \(P\) (в руб. за шт.) выражается формулой \(Q=7000-P\), \(1000\leqslant P\leqslant7000\). Доход от продажи товара составляет \(PQ\) рублей. Затраты на производство \(Q\) единиц товара составляют \(1000Q+10000\) рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 75%, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает \(t\) человек, то каждый из них получает в сутки \(150t\) руб. Если на втором объекте работает \(t\) человек, то каждый из них получает в сутки \((80t+200)\) руб. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?

Сергей является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 6t единиц товара; а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 10t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Сергей платит рабочему 800 рублей. Сергею нужно каждую неделю производить 136 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Алексей является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы на заводе в первом городе Алексей платит рабочему 400 рублей, а на заводе во втором городе — 1000 рублей. Алексею нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Иван является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Иван платит рабочему 500 рублей. Иван готов выделять 24 500 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 150 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 250 рублей. Вадим готов выделять 294000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Фермер владеет двумя полями для выращивания кукурузы. Урожайность каждого поля зависит от количества внесённых удобрений. Если на первое поле внесено \(t\) центнеров удобрений, то урожай составит \(14+12\sqrt{t}\) тонн кукурузы. Если на второе поле внесено \(t\) центнеров удобрений, то урожай составит \(5+16\sqrt{t}\) тонн кукурузы. На первое поле уже было внесено 5 центнеров удобрений. Фермер закупил ещё 20 центнеров удобрений и распределил их между полями. Какое наибольшее количество тонн урожая фермер сможет собрать с этих двух полей?

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят \(t^2\) тыс. рублей в конце года \(t\, (t = 1; 2; ...).\) В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в \((1+r)\) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких положительных значениях \(r\) это возможно?

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?