18 вариант ЕГЭ Ященко 2023

Угол между биссектрисой CD и медианой CM проведёнными из вершины прямого угла C треугольника ABC, равен 10°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Объём треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 2:5, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 шашистов, среди которых 4 спортсмена из России, в том числе Фёдор Волков. Найдите вероятность того, что в первом туре Фёдор Волков будет играть с каким-либо шашистом из России.

Игральный кубик бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых.

Найдите корень уравнения \(\log_4{2^{5x+7}}=3\).

Найдите значение выражения \(\dfrac{a^{3{,}33}}{a^{2{,}11}\cdot a^{2{,}22}}\) при \(a=\dfrac{2}{7}\).

Прямая \(y=9x+6\) является касательной к графику \(y=ax^2-19x+13\). Найдите \(a\).

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте \(h\) м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле \(l=\sqrt{\dfrac{Rh}{500}}\), где \(R = 6400\) км − радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 24 км?

Первый садовый насос перекачивает 10 литров воды за 5 минут, второй насос перекачивает тот же объём воды за 7 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 72 литра воды?

На рисунке изображен график функции \(f(x)=k\sqrt{x+p}\). Найдите \(f(0{,}25)\).

Найдите наибольшее значение функции \(y=2x^2-12x+8\ln{x}-5\) на отрезке \(\left[\dfrac{12}{13};\dfrac{14}{13}\right]\).

а) Решите уравнение \(7\cos{x}-4\cos^3{x}=2\sqrt{3}\sin{2x}\).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-3\pi\right]\)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

б)

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B.
а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин B и C.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины ребёр BC и SA, если известно, что BS=2AC.

Решите неравенство \(\log^2_{5}{\left(x^4\right)}-28\log_{0{,}04}{\left(x^2\right)}\leqslant 8\).

Производство \(x\) тыс. единиц продуктции обходится в \(q=3x^2+6x+13\) млн рублей в год. При цене \(p\) тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет \(px-q\). При каком наименьшем значении \(p\) через пять лет суммарная прибыль может составить не менее 70 млн рублей при некотором значении \(x\)?

Точки A₁, B₁, C₁ — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольника A₁CB₁, A₁BC₁ и B₁AC₁ пересекаются в одной точке.
б) Известно, что AB=AC=17 и BC=16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников A₁CB₁, A₁BC₁ и B₁AC₁.

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\begin{cases} \left(x-a+3\right)^2+\left(y+a-2\right)^2=a+\dfrac{7}{2}, \\ x-y=a-1 \end{cases}\)имеет единственное решение.

Для действительного числа \(x\) обозначим через \(\left[x\right]\) наибольшее целое число, не превосходящее \(x\). Например, \(\left[\dfrac{11}{4}\right]=2\), так как \(2\leqslant\dfrac{11}{4}<3\).
а) Существует ли такое натуральное число \(n\), что \(\left[\dfrac{n}{2}\right]+\left[\dfrac{n}{3}\right]+\left[\dfrac{n}{9}\right]=n\)?
б) Существует ли такое натуральное число \(n\), что \(\left[\dfrac{n}{2}\right]+\left[\dfrac{n}{3}\right]+\left[\dfrac{n}{5}\right]=n+2\)?
в) Сколько существует различных натуральных \(n\), для которых \(\left[\dfrac{n}{2}\right]+\left[\dfrac{n}{3}\right]+\left[\dfrac{n}{8}\right]+\left[\dfrac{n}{23}\right]=n+2021\)?

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.