Апрель

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) с целочисленными координатами. Найдите длину вектора \(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\)

​

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

​

В случайном эксперименте симметричную монету подбрасывают дважды. Найдите вероятность, что наступит исход РР (решка выпадет оба раза).

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,42. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,35. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решите уравнение \(x^2+x-6=0  \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Найдите значение выражения \( \left( 7{\frac35} -3{,}5\right) :\dfrac1{20}\).

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-2;12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой \(\nu=\dfrac{T_1-T_2}{T_1}\cdot 100\%\), где \(T_1\) - температура нагревателя (в градусах Кельвина), \(T_2\) - температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой температуре нагревателя \(T_1\) КПД двигателя будет 15%, если температура холодильника \(T_2 = 340°K\)? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоцилист и велосипедист. Велосепидист приехал в город А на 7 часов 30 минут позже, чем мотоциклист приехал в город В, при этом их встреча произошла через 2 часа после выезда. Сколько часов затратил на путь из города В в город А велосипедист?

На рисунке изображен график функции вида \(f(x)=\log_a(x+b)\). Найдите значение \(x\), при котором \(f(x)=8\).

Найдите наименьшее значение функции \(y=x\sqrt{x}-18x+15\) на отрезке \([16;169]\).

а) Решите уравнение \(\left(16^{\sin{x}}\right)^{\cos{x}} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{\sqrt{3}\sin{x}}\).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}{2}\right]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

б)

Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что BK=CN=20. Через точки K и N проведена плоскость α, перпендикулярная плоскости ABC.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану AM в отношении 2:7.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости α.

Решите неравенство \(\dfrac{2^{2x+2}-9\cdot 2^{x+2}+32}{2^{x+3}-2^{2x}}\leqslant \dfrac{3}{2^{x}}\).

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1 378 тысяч рублей.

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что AB : BC = AP : PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O - центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD - диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = \(5\), а BC = \(5\sqrt{2}\).

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система уравнений
\( \begin{cases}
\sqrt{16-x^2}\log_{11}(|x^2-y^2|+1)=0\\
y^2+(x-a)^2=16+2a(y-x)
\end{cases}\)
имеет ровно 4 решения.

\(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) – попарно различные двузначные положительные числа.

а) Может ли выполняться равенство \(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac7{19}\)?

б) Может ли дробь \(\dfrac{a+c}{b+d}\) быть в 11 раз меньше, чем сумма \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\)?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\dfrac{a+c}{b+d}\), если \(a>3b\) и \(c>6d\)?

Введите ответ в форме строки "да;да;23:34", где ответы на пункты разделены ";", первые два ответа с маленькой буквы, а ответ на пункт в) в виде не сократимого отношения, записанного через ":".