Сентябрь

Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 25°. Найдите величину угла между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.

​

Даны векторы \(\vec{a}(8;9)\) и \(\vec{b}(4;-3)\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 9. Найдите объём цилиндра.

На конференцию приехали учёные из трёх стран: 5 из Австрии, 4 из Германии и 6 из Сербии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад учёного из Сербии.

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже, чем 36,8 C°, равна 0,83. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 C° или выше.

Организаторы лотереи выпустили 10000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Найдите корень уравнения \(\log_2(x-2)=\log_211\)

Найдите значение выражения \(\log_2{6{,}4}+\log_25\)

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

​

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) км/ч². Скорость вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 км, приобрести скорость 80 км/ч. Ответ выразите в км/ч².

Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие три часа — со скоростью 105 км/ч, а затем три часа — со скоростью 65 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображен график функции вида \(f(x)=\dfrac{k}{x}\). Найдите значение \(f(10)\)

​​

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 130000 рублей, а во второй год – 150000 рублей.

а) Решите уравнение \(16^{\cos x}+16^{\cos(\pi-x)}=\dfrac{17}4\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\pi;\dfrac{5\pi}2\right]\)

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания – точка C₁, причём CC₁ – образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=45°, AB=2√3, CC₁=2√6.
а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 60°.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁.

Решите неравенство \(\dfrac{\log_3(81x)}{\log_3x-4}+\dfrac{\log_3x-4}{\log_3(81x)}\geqslant\dfrac{24-\log_3x^8}{\log^2_3x-16}\)

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей. Вадим готов выделять 1200000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC.\) Диагональ \(BD\) разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AD\) и \(CD.\)
а) Докажите, что луч \(AC\) — биссектриса угла \(BAD.\)
б) Найдите \(CD\), если известны диагонали трапеции: \(AC=12\) и \(BD=6{,}5\)

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a\) имеет ровно 3 решения.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.