Май

Центральный угол на 32° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

​

Даны векторы \(\vec{a}(2;5)\) и \(\vec{b}(4;-1)\). Найдите скалярное произведение векторов \(3\vec{a}+\vec{b}\) и \(\vec{a}+2\vec{b}\)

Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

​

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 13 из Великобритании, 7 из Франции, остальные - из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Найдите корень уравнения \(\log_3{(15-x)}=\log_37\)

Найдите \(\sin\alpha\), если \(\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{21}}5\) и \(\alpha\in \left(\dfrac{\pi}2;\pi\right)\)

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

​

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a=2500 \,км/ч^2\). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 50 км/ч.

Моторная лодка прошла против течения реки 48 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики функций видов \(f(x)=\dfrac{k}{x}\) и \(g(x)=ax+b\), пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

​​

Найдите наименьшее значение функции \(y=2\cos x+5x+7\) на отрезке \(\left[0;\dfrac{3\pi}2\right]\)

а) Решите уравнение \(\log_9\left(3^{2x}+5\sqrt2\sin x-6\cos^2x-2\right)=x\)
​б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]\)

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B.
а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин B и C.
б) Найдите угол (в градусах) между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины ребёр BC и SA, если известно, что BS=AC.

Решите неравенство \(\dfrac{\log_2x^2-\log_3x^2}{\log^2_6(2x^2-10x+12{,}5)+1}\geqslant0\)

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2030 года долг должен составить 500 тыс. рублей;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2080 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=12. Известно, что AB=BC=CD=18.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.

Найдите все неотрицательные значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(|x-a|+|2x+3a|=1-ax\) имеет ровно одно решение.

Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 – красную, если на 4 – синюю, если на 5 – зелёную. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.