Май

Решите уравнение \(\dfrac13 x^2 =8\frac13\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей в 4 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Найдите значение выражения \(8^{1+\log_{8}{26}}\)

В цилиндрический сосуд налили 2300 cм³ воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=-\dfrac14 t^3+4t^2-t+28\), где \(x\) – расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) – время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t=10\) с.

При температуре \(0^\circ\) \(C\) рельс имеет длину \(l_{0}=10\)м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l(t_{0}) = l_{0}(1+\alpha\cdot t^{\circ})\), где \(\alpha=1{,}2 \cdot10^{-5}(^{\circ}C)^{-1}\) — коэффицент теплового расширения, \(t^\circ\) — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равно 6 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 18 км/ч больше скорости другого?

На рисунке изображен график функции вида \(f(x)=\log_a(x+b)\). Найдите значение \(x\), при котором \(f(x)=-5\).

Симметричный игральный кубик бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Какова вероятность события «сумма выпавших очков равна 10»?

Найдите точку максимума функции \(y=-\dfrac{x}{x^2+9}+1  \)

а) Решите уравнение \(\log_{\frac{1}{2}}{(3\cos2x-2\cos^2x+5)}=-2\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[5\pi; \dfrac{13\pi}{2}\right]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

б)

Дана правильная четырехугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). На ребре \(AA_1\) отмечена точка \(K\) так, что \(AK:KA_1=1:3\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\), \(K\) параллельно прямой \(AC\). Эта плоскость пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(M\).

а) Докажите, что M – середина ребра \(DD_1\).

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью \(\alpha\), если \(AB=5\), \(AA_1=4\).

Решите неравенство \(\log_{49}(x+4)+\log_{(x^2+8x+16)}\sqrt{7}⩽-\dfrac{3}{4}\).

15 июля планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 30-го месяца долг составит 500 тысяч рублей;
- к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей.

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \(\begin{cases} ((x+5)^2+y^2-a^2)\ln(9-x^2-y^2)=0 \\ ((x+5)^2+y^2-a^2)(x+y-a+5)=0 \end{cases}\) имеет ровно два различных решения.

\(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) – попарно различные двузначные положительные числа.

а) Может ли выполняться равенство \(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac7{19}\)?

б) Может ли дробь \(\dfrac{a+c}{b+d}\) быть в 11 раз меньше, чем сумма \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\)?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\dfrac{a+c}{b+d}\), если \(a>3b\) и \(c>6d\)?

Введите ответ в форме строки "да;да;23:34", где ответы на пункты разделены ";", первые два ответа с маленькой буквы, а ответ на пункт в) в виде не сократимого отношения, записанного через ":".