Май

Найдите величину центрального угла, если он на 69° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

​

Даны векторы \(\vec{a}(1;2)\) и \(\vec{b}(3;-1)\). Найдите скалярное произведение векторов \(2\vec{a}+\vec{b}\) и \(\vec{a}-3\vec{b}\)

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 21. Найдите площадь поверхности шара.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 60 спортсменов, среди них 19 спортсменов из Голландии и 24 спортсмена из Дании. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым будет выступать прыгун из Дании.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac13\right)^{3-x}=81\)

Найдите значение выражения \(\dfrac{8\sin64°\cdot\cos64°}{\sin128°}\)

На рисунке изображен график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечено десять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

​

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a=9000 \,км/ч^2\). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 120 км/ч.

Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики функций видов \(f(x)=\dfrac{k}{x}\) и \(g(x)=ax+b\), пересекающихся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

​

Найдите точку минимума функции \(y=x^3-27x^2+17\)

а) Решите уравнение \(2\sin(-x)+2\sqrt3\sin x-4\cos^2x=\sqrt3-4\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]\)

В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный \((AB=BC)\) треугольник \(ABC\)). Точка \(K\) — середина ребра \(A_1B_1\), а точка \(M\) делит ребро \(AC\) в отношении \(AM:MC=1:3.\)
а) Докажите, что \(KM⊥AC.\)
б) Найдите угол между прямой \(KM\) и плоскостью \(ABB_1\), если \(AB=6\), \(AC=8\) и \(AA_1=3.\)

Решите неравенство \(\log_8(x^3-3x^2+3x-1)\geqslant \log_2(x^2-1)-5\)

В июне 2028 года Иван Петрович планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе каждого года долг увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года;
- в период с февраля по июнь в каждый из 2029, 2030, 2031 и 2032 годов необходимо выплатить только проценты по кредиту, начисленные в январе соответствующего года;
- в период с февраля по июнь в каждый из 2033 и 2034 годов платежи по кредиту равные, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту превысит 12 млн рублей.

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке E.
а) Докажите, что углы ∠EOC=∠ECO.
б) Найдите площадь треугольника ACE, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√3, ∠ABC=60°.

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \((x^2+x+a)^2=2x^4+2(x+a)^2\) имеет ровно одно решение на отрезке [0;2].

Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1).