Март

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 28°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы \(\vec{a}(6;-1)\), \(\vec{b}(-5;-2)\) и \(\vec{c}(-3;5)\). Найдите длину вектора \(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\)

В правильной шестиугольной призме \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) \(AB = 4\sqrt{3}\), а высота – 5. Найдите расстояние между точками \(C\) и \(E_1\).

​

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов: первые три дня по 11 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание испеченной буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что её масса окажется больше 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

Решите уравнение \(2^{\log_{16}(9x+4)}=5\)

Найти \(\mathrm{ctg\,}{\alpha}\), если \(\sin{\alpha} = \dfrac{4}{\sqrt{65}}\)и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)\).

На рисунке изображён график некоторой функции \(y=f(x)\) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите \( F(-1)-F(-8)\), где \(F(x)\) - одна из первообразных функции \(f(x)\).

Мяч бросили под отстрым углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле \(t=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}\). При каком значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полета составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0=30\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g=10\) м/с²

Заказ на изготовление 209 деталей первый рабочий выполняет на 8 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 8 деталей больше?

На рисунке изображен график функции \(f(x)=\dfrac{kx+a}{x+b}\). Найдите \(a\).

Найдите наибольшее значение функции \( y=\dfrac{x^2+121}{x}\) на отрезке \( [1;20]\).

а) Решите уравнение \(\left((0{,}25)^{\sin{x}}\right)^{\cos{x}}=2^{-\sqrt{2}\sin{x}}\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]\)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

б)

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=1:5. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую KM и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой SA.
б) Найдите косинус угла между плоскостями \(\alpha\) и SBC.

Решите неравенство \(\log_{|x|}(15x-18-2x^2)\leqslant 2\).

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите r.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=12. Известно, что AB=BC=CD=18.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \((x^2+x+a)^2=2x^4+2(x+a)^2\) имеет ровно одно решение на отрезке [0;2].

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.