Апрель

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, угол C равен 168°, угол CBD – внешний. Найдите угол CBD. Ответ дайте в градусах.

​

Даны векторы \(\vec{a}(6;4)\) и \(\vec{b}(5;-7)\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 9√2. Найдите радиус сферы.

​

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 13 из Великобритании, 7 из Франции, остальные - из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.

Игральную кость бросили два раза. Известно, что пять очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 9»?

Найдите корень уравнения \(\sqrt{22-3x}=2\)

Найдите значение выражения \(\dfrac{\log_928}{\log_97}+\log_7{\dfrac74}\)

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

​

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) (в км/ч²). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1 км, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Моторная лодка прошла против течения реки 48 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики функций видов \(f(x)=\dfrac{k}{x}\) и \(g(x)=ax+b\), пересекающихся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

​

Найдите точку минимума функции \(y=9x-\ln(x-2)^9-8\)

а) Решите уравнение \(16^{\sin x}+16^{\sin(x+\pi)}=\dfrac{17}4\)
​б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac{3\pi}2;3\pi\right]\)

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=1:2. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

Решите неравенство \(\log_7(4x^2-1)-\log_7x\leqslant\log_7\left(5x+\dfrac9{x}-11\right)\)

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?

На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки K и L так, что AK:KB=CL:LB=7:1. Вписанная окружность треугольника ABC касается отрезка KL в точке D.
а) Докажите, что 9AC=7(AB+BC).
б) Известно, что DL=1, KD=2. Найдите радиус вписанной окружности.

Найдите все положительные значения \(a\), при каждом из которых система
\(\begin{cases}
(|x|-5)^{2}+(y-4)^{2}=9\\
(x+2)^{2}+y^{2}=a^{2}
\end{cases}\)

имеет единственное решение.

В результате опроса выяснилось, что примерно 58% опрошенных предпочитают искусственную ёлку натуральной. Из этого же опроса последовало, что примерно 42% респондентов никогда не отмечали Новый год не дома. Эти результаты получились с помощью округления до целого числа.