Январь

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 44. Найдите высоту этого треугольника.

Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)

​

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 3. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Учительница разбила класс на 8 групп по 4 человека, выдав каждой группе тему доклада для следующего урока и назначив старшего в группе. Антон – старший в некоторой группе – накануне весь вечер играл в футбол, поэтому его группа доклад не подготовила. Учительница может вызвать для презентации доклада любого учащегося, кроме старших по группам. Какова вероятность, что вызовут школьника из группы Антона?

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,6 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 21 июня погода в Волшебной стране отличная. Найдите вероятность того, что 23 июня в Волшебной стране будет отличная погода.

Решите уравнение \(\dfrac7{x-7}=\dfrac{x-7}7\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Вычислите \(\log_a\sqrt[7]{a^3b}\), если \(\log_ba=\dfrac1{11}\)

На рисунке изображён график \(y=f'(x)\) производной функции \(f(x)\), определённой на интервале \((-8 ; 4)\). В какой точке отрезка \([-2 ; 3]\) функция\(f(x)\) принимает наименьшее значение?

На автомобильной шине с помощью специальной маркировки указаны её размеры. Например, 265/60R18. Первое число означает ширину шины B в миллиметрах (см. рис.). Второе число означает отношение высоты профиля шины H к ширине шины в процентах. Буква означает конструкцию шины (R -радиальный тип), а последнее число означает диаметр обода колеса d в дюймах. На автомобиль «Лада-Калина» завод устанавливает шины с маркировкой 185/60R14. Найдите диаметр колеса D этого автомобиля. В одном дюйме 25,4 мм. Ответ дайте в сантиметрах с округлением до целого.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 25% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 105 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

На рисунке изображен график функции вида \(f(x)=ax^2+bx+c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) – целые. Найдите значение \(f(-1)\).

Найдите точку минимума функции \(y=-\dfrac{x}{x^2+256}\)

а) Решите уравнение \(\dfrac{4}{\sin^2{\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)}}-\dfrac{11}{\cos{x}}+6=0\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

б)

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=14\).
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=6:1\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

Решите неравенство \(1+\dfrac{6}{\log_3{x}-3}+\dfrac5{\log^2_3{x}-\log_3(27x^6)+12}\geqslant 0\)

В сентябре 2027 года Мария планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 4,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
- в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на (r-3)% от суммы долга на конец предыдущего года;
- в период с февраля по август необходимо выплатить часть долга;
- в сентябре каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года;
- к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 7,2 млн рублей. Сколько рублей составит выплата 2032 года?

На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что BE:EC=1:4. Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом BR:RD=1:3.
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 2:1, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если MR=2√3.

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\begin{cases}x^2+y^2=|2{,}7a|\\y=a(x-a)\end{cases}\) имеет ровно два различных решения.

У Миши в копилке есть 2-рублевые, 5-рублевые и 10-рублевые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдется хотя бы одна 2-рублевая. Если взять 15 монет, то среди них обязательно найдется хотя бы одна 5-рублевая. Если взять 20 монет, то среди них найдется хотя бы одна 10-рублевая.
а) Может ли у Миши быть 30 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть у Миши?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Миши?

Введите ответ в форме строки "да;123;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первый ответ с маленькой буквы.