Практические задачи

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения \(t\) небольших камней в колодец и рассчитывая расстояние до воды по формуле \(h=5t^2  \). До дождя время падения камней состовляло 0,8 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в метрах).

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Коля бросает небольщие камешки в колодец, измеряя время их падения, и рассчитывает расстояние до воды по формуле \(h=5t^2\), где \(h\) - расстояние в метрах, \(t\) - время падения в секундах. До дождя камушки падали 1,6 с. На сколько поднялся уровень воды после дождя, если измеряемое время уменьшилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

При равноускоренном движении колеса троллейбуса его угловая скорость \(ω\) (измеряемая в градусах в секунду) и угловое ускорение \(ε\) связаны соотношением \(ω^2-ω_0^2=2εφ\), где \(ω_0\) - начальная угловая скорость колеса, \(φ\) - угол поворота колеса, измеряемый в градусах. При начале движения троллейбуса от остановки, его колесо начинает вращаться с угловым ускорением \(80°/с^2\). Сколько полных оборотов сделает колесо троллейбуса к тому времени, как его угловая скорость достигнет значения \(540°/с\)? Полный оборот колеса равен 360°.

При температуре 0°C рельс имеет длину \(l_0 =20\) м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l(t°)=l_0(1+\alpha\cdot t°)\), где \(\alpha =1{,}2\cdot 10^{-5}(°)^{-1}\) - коэффициент теплового расширения, \(t°\) - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\dfrac{g}{2}k^2t^2\), где \(t\) - время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, \(H_0=20\) - начальная высота столба воды, \(k=\dfrac{1}{50}\) - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а \(g\) - ускорение свободного падения (считайте \(g=10\,м/с^2\)). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию \(q\) (единиц в месяц) от её цены \(p\) (тыс. руб.) задаётся формулой: \(q=255-15p\). Определите максимальный уровень цены \(p\) (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц \(r=q\cdot p\) составит не менее 990 тыс. руб.