Практические задачи 2

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела \(P\) прямо пропорциональна площади его поверхности \(S\) и четвёртой степени температуры \(T\): \(P=σST^4\), где \(σ=5{,}7\cdot 10^{-8}\) - постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура - в кельвинах, а мощность - в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь \(S=\dfrac{1}{128}\cdot 10^{20}\,м^2\), а излучаемая ею мощность \(P\) не менее \(1{,}14\cdot10^{25}\) Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой \(η=\dfrac{T_1-T_2}{T_1}\cdot100\%\), где \(T_1\) - температура нагревателя (в градусах Кельвина), \(T_2\) - температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя \(T_1\) КПД этого двигателя будет не меньше 50%, если температура холодильника \(T_2=275\) K. Ответ дайте в градусах Кельвина.

Для поддержания балкона планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление \(P\) (в паскалях), оказываемое балконом и колонной на опору, определяется по формуле \(P=\dfrac{4mg}{\pi D^2}\), где \(m=6000\) кг - общая масса балкона и колонны, \(D\) - диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения \(g=10м/с^2\), а \(\pi=3\), определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно превышать 500000 Па. Ответ выразите в метрах.

В физике элементарных частиц используется своя система единиц, в которой скорость безразмерна; масса имеет ту же размерность, что и энергия, и измеряются они в электронвольтах. При движении с релятивистскими скоростями, кинетическая энергия \(T\) движущейся частицы равна \(mc^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)\), где \(m\) - масса покоя частицы, \(c\) - скорость света в вакууме, \(v\) - скорость движения частицы. Известно, что протон массой 938 МэВ (мегаэлектронвольт) движется с кинетической энергией 234,5 МэВ. Чему равна скорость протона, если принять скорость света \(c\) за 1?

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m(t)=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) (мг) - начальная масса изотопа, \(t\) (мин.) - время, прошедшее от начального момента, \(T\) (мин.) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \(m_0=50\) мг. Период его полураспада \(T=5\) мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

Для обогрева помещения, температура в котором равна \(T_п=25°C\), через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой \(T_в=81°C\). За секунду через трубу протекает \(m=0{,}5\) кг воды. За \(x\) метров вода охлаждается до температуры \(T\) (в градусах Цельсия), вычисляемой по формуле \(x=\alpha\dfrac{cm}{γ}\cdot \log_{2}{\dfrac{T_в-T_п}{T-T_п}}\), где \(c=4200 \dfrac{Дж}{кг\cdot °C}\) - теплоёмкость воды, \(γ=42\dfrac{Вт}{м\cdot °C}\) - коэффициент теплообмена, а \(\alpha =1{,}1\) - постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы равна 110 м?

Плоский замкнутый контур площадью \(S=1{,}25\,м^2\) находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой определяется формулой: \(ε_i=aS\cos{γ}\), где \(γ\) - острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, \(a=8\cdot 10^{-4}\,Тл/с\) - постоянная, \(S\,(м^2)\) - площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле. При каком минимальном угле \(γ\) ЭДС индукции не будет превышать \(5\cdot 10^{-4}\,В\)? Ответ дайте в градусах

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением: \(pV^{1{,}4}=const\), где \(p\) (атмосфер) - давление газа, \(V\) (литров) - объём газа. Изначально объём газа равен 134,4 л, а его давление равно одной атмосфере. Поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объёма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Выехав из города со скоростью \(v_0=53\,км/ч\), мотоциклист начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a=8\,км/ч^2\). Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением \(S=v_0t+\dfrac{at^2}{2}\), где \(t\,(ч)\) - время, прошедшее с момента выезда мотоциклиста из города. Через сколько минут мотоциклист доберется от границы города до автозаправочной станции, расположенной в 42 км от города?

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте \(h\) метров над землей, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле \(l=\sqrt{\dfrac{Rh}{500}}\), где \(R=6400\) (км) – радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 8 км. Ответ дайте в метрах.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью \(v=5\) м/с под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает двигаться со скоростью \(u=\dfrac{m\cdot v\cdot\cos{\alpha}}{m+M}\) (м/с), где \(m=70\) кг – масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=280\) кг – масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha\) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,5 м/с? Ответ дайте в градусах.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U=U_0\cos{(ωt+\varphi)}\), где \(t\) – время в секундах, амплитуда \(U_0=2\) В, частота \(ω=120°\) в секунду, фаза \(\varphi=-90°\). Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Сколько процентов времени на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Мяч бросили в стену. Расстояние \(x\) (в метрах) от мяча до стены меняется по закону \(x(t)=10-4t\), где \(t\) – время (в секундах), прошедшее с момента броска. Высота полета мяча \(y\) (в метрах) меняется по закону \(y(t)=-2t^2+6t+2\). На какой высоте будет находиться мяч, когда он ударится о стену? Ответ дайте в метрах.

Трактор тащит сани с силой \(F=90\) кН, направленной под острым углом \(\alpha\) к горизонту. При скорости трактора \(v=6\) м/с мощность равна \(N=Fv\cos{a}\) (кВт). При каком максимальном угле \(\alpha\) эта мощность будет не менее 270 кВт? Ответ дайте в градусах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 374 МГц. Батискаф спускается со скоростью \(v=c\dfrac{f-f_0}{f+f_0}\) метров в секунду, где \(c=1500\) м/с – скорость звука в воде, \(f_0\) (МГц) – частота испускаемых импульсов, \(f\) (МГц) – частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником. Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала \(f\), если скорость погружения батискафа не должна превышать 4 м/с.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием \(f=80\) см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 330 до 350 см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана – в пределах от 80 до 105 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}=\dfrac{1}{f}\). Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h(t)=4{,}4+14t-5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 11 метров?

При вращении ведра на веревке в вертикальной плоскости, вода не будет выливаться, если сила её давления на дно ведра будет неотрицательной в верхней точке. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна \(P=m\left(\dfrac{v^2}{L}-g\right)\), где \(m\) – масса воды в килограммах, \(v\) – скорость движения ведерка в м/с, \(L\) – длина веревки в метрах, \(g\) – ускорение свободного падения (считайте \(g=10\, м/с^2\)). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 176,4 см? Ответ выразите в м/с.