8 вариант ЕГЭ Ященко 2025

В треугольнике со сторонами 16 и 20 проведены высоты к этим сторонам. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 14. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение \((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}\)

Шар вписан в цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24. Найдите площадь поверхности шара.

​

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac9{3x+7}}=1{,}2\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку [-4;2], в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время \(t\) падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле \(h=5t^2\), где \(h\) - расстояние в метрах, \(t\) - время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,9 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,4 с? Ответ выразите в метрах.

На рисунке изображён график функции \(f(x)=c+\log_ax\). Найдите значение \(x\), при котором \(f(x)=1\)

а) Решите уравнение \(\dfrac{4\cos^3x-6\cos x}{\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)}=3\)
​б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac{3\pi}2;4\pi\right]\)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

б)

В правильной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания ABC равна \(2\sqrt2\), а боковое ребро AA₁ равно \(3\sqrt2\). На рёбрах AA₁, BB₁ и A₁C₁ отмечены точки N, K и P так, что AN:NA₁=B₁K:KB=C₁P:PA₁=2:1. Плоскость KNP пересекает ребро B₁C₁ в точке F.
а) Докажите, что точка F — середина ребра B₁C₁.
​б) Найдите расстояние от точки F до плоскости CNK.

Решите неравенство \(\dfrac{64^x-4^{1{,}5x+1}+1}{8^x-4}\leqslant8^x-2+\dfrac9{8^x-2}\)

В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на 1,6 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
- в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года;
- в июне 2032 года выплачивается остаток по кредиту в размере 468 тыс. рублей.
Найдите r, если общая сумма выплат составит 2280 тыс. рублей.

В треугольнике ABC точки N и P — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что периметр треугольника ABC равен 4AC.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 24, а ∠BAC=60°.

Найдите все значения \(a\), при которых система неравенств \(\begin{cases}(x+2a)^2+(a-y)^2\leqslant5-a\\x+y\leqslant|a+2|\end{cases}\) имеет единственное решение.

Есть 4 камня, каждый массой по 100 тонн, 5 камней, каждый массой по 25 тонн, и 6 камней, каждый массой по 4 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами \(m_1\), \(m_2\) и \(m_3\) так, что \(m_1\geqslant m_2\geqslant m_3\). Найдите наименьшее такое число \(d\), что \(m_1-m_2\leqslant d\), \(m_2-m_3\leqslant d\).

Введите ответ в форме строки "да;да;12". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.