17. Планиметрия из открытого банка ФИПИ

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠А=30°, В₁С₁=5 и площадь треугольника АВ₁С₁ в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Диагонали равнобедренной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) перпендикулярны. Окружность с диаметром \(AD\) пересекает боковую сторону \(CD\) в точке \(M\), а окружность с диаметром \(CD\) пересекает основание \(AD\) в точке \(N.\) Отрезки \(AM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(P.\)
а) Докажите, что в четырёхугольник \(ABCP\) можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если \(BC=7,\) \(AD=23.\)

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC.\) Диагональ \(BD\) разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AD\) и \(CD.\)
а) Докажите, что луч \(AC\) — биссектриса угла \(BAD.\)
б) Найдите \(CD\), если известны диагонали трапеции: \(AC=12\) и \(BD=6{,}5\)

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠А=45°, В₁С₁=6 и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Диагонали равнобедренной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) перпендикулярны. Окружность с диаметром \(AD\) пересекает боковую сторону \(CD\) в точке \(M\), а окружность с диаметром \(CD\) пересекает основание \(AD\) в точке \(N.\) Отрезки \(AM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(P.\)
а) Докажите, что в четырёхугольник \(ABCP\) можно вписать окружность.
​б) Найдите радиус этой окружности, если \(BC=7,\) \(AD=17.\)

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16, QW=12, угол PWQ — острый.
а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Дана трапеция ABCD  с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=15, BD=8,5.

Точки P, K, N делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP:PB=CK:KB=CN:ND=1:4. Радиус описанной около треугольника PKN окружности равен 10, PK=16, KN=12, угол PNK острый.
а) Докажите, что треугольник PKN прямоугольный.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD.