14. Стереометрия Открытый банк ФИПИ

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
​б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=1:2. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный \((AB=BC)\) треугольник \(ABC\). Точка \(K\) — середина ребра \(A_1B_1\), а точка \(M\) делит ребро \(AC\) в отношении \(AM:MC=1:3.\)
а) Докажите, что \(KM⊥AC.\)
б) Найдите угол между прямой \(KM\) и плоскостью \(ABB_1\), если \(AB=6\), \(AC=8\) и \(AA_1=3.\)

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E:EA=1:2, на ребре BB₁ - точка F так, что B₁F:FB=1:5, а точка T - середина ребра B₁C₁. Известно, что AB=2, AD=6, AA₁=6.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA₁B₁.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известно, что AB=2. Плоскость α проходит через вершины A₁ и B и середину M ребра CC₁.
а) Докажите, что сечение призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую KN и параллельна прямой BC .
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и SBC .

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:2. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и SBC.