Задачи ЕГЭ профиль
На берегах прямого участка реки друг напротив друга находятся пристани А и Б. Лодка начинает переправу от пристани А. Собственная скорость лодки \(v\) меньше скорости течения реки \(u\).
При переправе лодку сносит течением, и точка прибытия В находится от пристани Б на расстоянии, которое выражается формулой \(L=H\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha},\) где \(H\) — ширина реки, \(\alpha\) — угол между вектором скорости лодки относительно воды и вектором скорости течения. Найдите наименьшее возможное расстояние от точки В до пристани Б, если \(H=60\) м, \(u=2\) м/с и \(v=1\) м/с.
На заводе имеется генератор с ЭДС \(\varepsilon=50\) В и внутренним сопротивлением \(r=1\) Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки \(R\) (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: \(I=\dfrac{\varepsilon}{r+R}.\) Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: \(P=I^2 R.\) Какова максимальная тепловая мощность \(P\), которая может быть выделена нагрузкой?
Полезная мощность ветроэлектрической установки \(P\) (в кВт) зависит от скорости ветра \(v\) (в м/с) по закону \(P(v)=k \cdot v^2 \cdot (v_0 - v),\) где \(v_0 = 18\) м/с — штормовая скорость ветра, при которой срабатывает автоматическая защита, а \(k = 0{,}05\) — коэффициент полезного действия установки. При какой скорости ветра мощность генератора будет наибольшей? Ответ дайте в м/с.
При введении лекарственного препарата его концентрация в крови пациента \(C\) (в мг/л) изменяется с течением времени \(t\) (в часах) по закону: \(C(t)=\dfrac{a\cdot t}{t^2+b}\), где \(a=36\) мг⋅ч/л, \(b=9\) ч\(^2\) — константы, зависящие от индивидуальных параметров пациента. Через сколько часов после введения препарата его концентрация в крови будет наибольшей?
Максимальная скорость передачи информации по зашумленному каналу связи (в Мбит/с) зависит от частоты сигнала \(f\) (в ГГц, \(f>0\)) и описывается функцией \(C(f)=\dfrac{k \cdot f^2}{\sqrt{(f^2 - f_0^2)^2 + \gamma^2 \cdot f^2}},\) где \(f_0=2\) ГГц — резонансная частота оборудования, \(\gamma=2\) ГГц — коэффициент затухания сигнала в среде, а \(k=50\) — нормировочный коэффициент. При какой частоте сигнала \(f\) (в ГГц) скорость передачи данных будет наибольшей?
Интенсивность света \(I\), проходящего через сложную систему поляризаторов в микроскопе, зависит от угла поворота линзы \(\theta\) (в радианах) и выражается формулой \(I(\theta)=\dfrac{4\sin^2\theta}{4\sin^4\theta+7\sin^2\theta+1}\), \(\theta\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right).\) При каком значении \(\sin\theta\) интенсивность освещения будет максимальной?
При пролете космического аппарата вблизи тяжелой планеты приращение его кинетической энергии \(E\) (в условных единицах) зависит от прицельного параметра \(p\) (расстояния минимального сближения) по закону \(E(p)=\dfrac{108p^{2}}{(p^{2}+3)^{3}},\, p>0.\) Определите, при каком значении параметра \(p\) аппарат получит наибольшее приращение энергии.
Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности \(f(\mathcal{E})=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\left(\dfrac{1}{kT}\right)^{\frac32}\sqrt{\mathcal{E}}e^{-\dfrac{\mathcal{E}}{kT}},\) где \(k=1{,}38\cdot 10^{-23}\) Дж/К — постоянная Больцмана, \(\mathcal{E}\) — кинетическая энергия молекулы в джоулях, \(T\) — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии \(\mathcal{E}\), при котором функция плотности \(f(\mathcal{E})\) принимает наибольшее значение, если \(T=300\) К.
Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой \(A=k\theta_0\cdot\dfrac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2-\tau^2\right)^2+n\tau^2T^2}},\) где \(k=0{,}91\) — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, \(\theta_0 = 9^\circ\) — угол наибольшего волнового склона, \(\tau\) — период волны (в секундах), \(T = 14{,}7\) с — период свободных качаний корабля на тихой воде, \(n = 0{,}0792\) — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.